Question

【题目】已知函数，

（1）若，求函数的极值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若对内任意一个，都有 成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的极小值是， 没有极大值；(2)答案见解析；(3) .

【解析】试题分析：

（1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是， 没有极大值；

（2），则，分类讨论可得：

①当时， 在上单调递减，在上单调递增；

②当时，函数在上单调递增；

（3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零”

结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是： .

试题解析：

（1）的定义域为，

当时， ， ，

		3
	—	0	+
		极小

所以的极小值是， 没有极大值；

（2），

，

①当时，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当，即时，在上，

所以，函数在上单调递增；

（3）“对内任意一个，都有成立”等价于

“函数在上的最小值大于零”

由（2）可知

①当时， 在上单调递增，所以，解得；

②当，即时， 在上单调递减，

所以的最小值为可得，

因为，所以；

③当，即时， 在上单调递增，

所以最小值为，由可得，所以；

④当，即时，可得最小值为，

因为， ，所以，

故，恒成立.

综上讨论可得所求的范围是： .