Question

已知函数f（x）-x+

t

x

（t＞0）和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M，N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M，N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设出M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，对函数求导得到切线的斜率，写出切线的方程，根据切线过一个点，得到一个方程，根据根与系数的关系写出两点之间的长度，得到函数的表示式．
（II）根据三点共线写出其中两点连线的斜率相等，整理出最简单形式，把上一问做出的结果代入，求出t的值．

解答：解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵f′（x）=1-

t

x2

，
∴切线PM的方程为：y-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（x-x₁），
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（1-x₁），
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，
∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t

（*）
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

，
把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函数g（t）的表达式为g（t）=

20t2+20t

（t＞0）．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，k_MA=k_NA，
∴

x1+ t x1 -1

x1-0

=

x2+ t x2 -1

x2-0

，即

x 2 1 +t-x1

x 2 1

=

x 2 2 +t-x2

x 2 2

，
化简，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得t=

1

2

．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=

1

2

．

点评：本题考查函数的综合题目，主要应用导函数求最值来解题，本题解题的关键是正确应用导数，本题是一个综合题目，综合性比较强．