Question

已知函数f(n)=cos

nπ

5

(n∈N)，则

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)

f(11)+f(22)+f(33)

的值为（　　）

• A．1
• B．cos

  π

  5

• C．

  1

  2

• D．2

Answer 1

分析：先通过诱导公式找到规律，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos

π

5

+cos

2π

5

）+（cos

3π

5

+cos

4π

5

）=-（cos

4π

5

+cos

3π

5

）+（cos

3π

5

+cos

4π

5

）=0，然后再利用诱导公式及周期性求解．

解答：解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos

π

5

+cos

2π

5

）+（cos

3π

5

+cos

4π

5

）
=-（cos

4π

5

+cos

3π

5

）+（cos

3π

5

+cos

4π

5

）=0，f（5）=cosπ=-1；
f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=cos（π+

π

5

）+cos（π+

2π

5

）+cos（π+

3π

5

）+cos（π+

4π

5

）
=-（cos

π

5

+cos

2π

5

+cos

3π

5

+cos

4π

5

）
=-[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，f（10）=cos2π=1；
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0
函数f(n)=cos

nπ

5

(n∈N)的周期T=

2π

π 5

=10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2003）=f（2001）+f（2002）+f（2003）
=f（1）+f（2）+f（3）=cos

π

5

+cos

2π

5

+cos

3π

5

=cos

π

5

f（11）+f（22）+f（33）=f（1）+f（2）+f（3）=cos

π

5

+cos

2π

5

+cos

3π

5

=cos

π

5

∴原式=1
故选A．

点评：本题主要考查函数的规律的探索，学习三角函数关键是熟练应用相关公式，将问题进行转化．