Question

某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%。从2010年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a₁＝，经过n年绿化总面积为a_n＋1。
求证：a_n＋1＝＋a_n
(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？

Answer 1

（1）略（2）最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.

(1)证明：由已知可得a_n确定后，a_n＋1表示如下：a_n＋1= a_n(1－4%)＋(1－a_n)16%
即a_n＋1="80%" a_n +16%=a_n +
(2)解：由a_n＋1=a_n+可得：
a_n＋1－=(a_n－)=()²(a_n－1－)=…=()ⁿ(a₁－)
故有a_n＋1＝－()ⁿ＋，若a_n＋1≥，则有－()ⁿ＋≥即≥()^n－1
两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)
故n≥＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N_＋为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.