Question

18．已知f（x）=x²+ax对以任意的a∈[-2，2]都有f（x）≥3-a成立，则x的取值范围是x$≤-1-\sqrt{2}$或x$≥1+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把给出的函数看作是关于a的一次函数，由y≥0对任意a∈[-2，2]恒成立得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．

解答 解：f（x）=x²+ax，f（x）≥3-a，可得x²+ax-3+a＞0
令g（a）=xa+a+x²-3，
要使f（x）≥3-a成立对任意a∈[-2，2]恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）≥0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-5≥0}\\{{x}^{2}+2x-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：x$≤-1-\sqrt{2}$或x$≥1+\sqrt{6}$．
故答案为：x$≤-1-\sqrt{2}$或x$≥1+\sqrt{6}$．

点评 本题考查恒成立问题，解答的关键是“更换主元”，是中档题．