Question

6．已知正项数列{a_n}前n项和为S_n，且4S_n=a_n²+2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）4S_n=a_n²+2a_n+1可得4a₁=a₁²+2a₁+1，a₁＞0，解得a₁．n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1），再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n+1．
∴当n=1时，可得4a₁=4S₁=a₁²+2a₁+1，
解得a₁=1，
由4S_n=a_n²+2a_n+1得：
4S_n-a_n²-2a_n-1=0，①
则4S_n+1-a_n+1²-2a_n+1-1=0，②
②-①得：：4（S_n+1-S_n）-a_n+1²-2a_n+1-1+a_n²+2a_n+1=0，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
则数列{b_n}的前n项和为：1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．