Question

16．如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N，E分别是棱A₁B₁，A₁D₁，C₁D₁的中点．
（1）求证：AM∥平面NED；
（2）求直线AM与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结ME，证明ADEM为平行四边形，从而得到AM∥DE，即可证明AM∥平面NED；
（2）取AB中点F，连结B₁F，则B₁F∥AM，AM与平面BCC₁B₁所成角即为B₁F平面BCC₁B₁所成角，即可求出直线AM与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 （1）证明：连结ME----------（1分）
∵M、E分别是A₁B₁、D₁C₁中点
∴A₁D₁∥ME，A₁D₁=ME
又∵A₁D₁∥AD，A₁D₁=AD
∴ME∥AD，ME=AD
故得平行四边形ADEM-----------------------（4分）
∴AM∥DE
又∵DE?平面NED
AM?平面NED
∴AM∥平面NED-----------------------（6分）
（2）解：取AB中点F，连结B₁F，则B₁F∥AM
∴AM与平面BCC₁B₁所成角即为B₁F平面BCC₁B₁所成角．
∵AB⊥平面BCC₁B₁
∴∠FB₁B是直线AM与平面BCC₁B₁所成角---------------------------------（9分）
∵$BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}B{B_1}$
∴$tan∠F{B_1}B=\frac{FB}{{B{B_1}}}=\frac{1}{2}$
故直线AM与平面BCC₁B₁所成角的正切值为$\frac{1}{2}$-------------------------（12分）

点评 本题考查证明线面平行的方法，求直线AM与平面BCC₁B₁所成角的正切值，属于中档题．