Question

4．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证：平面ABB₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取BC中点O，连AO，利用正三角形三线合一，及面面垂直的性质可得AO⊥平面BCB₁C₁，取B₁C₁中点为O₁，以O为原点，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{O{O_1}}$，$\overrightarrow{OA}$的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出AB₁的方向向量，利用向量垂直的充要条件及线面垂直的判定定理可得AB₁⊥平面A₁BD，即可证明平面ABB₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）分别求出平面A₁AD的法向量和平面A₁AD的一个法向量代入向量夹角公式，可得二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

解答 （1）证明：取BC中点O，连AO，∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中点为O₁，以O为原点，
$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{O{O_1}}$，$\overrightarrow{OA}$的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则$B（1，0，0），D（-1，1，0），{A_1}（0，2，\sqrt{3}），A（0，0，\sqrt{3}），{B_1}（1，2，0）$．
∴$\overrightarrow{A{B_1}}（1，2，\sqrt{3}），\overrightarrow{BD}=（-2，1，0），\overrightarrow{B{A_1}}=（-1，2，\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{BD}=-2+2+0=0$，$\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{B{A_1}}=-1+4-3=0$．
∴$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{B{A_1}}$，∴AB₁⊥面A₁BD．…（5分）
AA₁?面A₁BD
所以 平面ABB₁A₁⊥面A₁BD------------------------------（6分）
（2）解：设平面A₁AD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AD}=（-1，1，-\sqrt{3}），\overrightarrow{A{A_1}}（0，2，0）$．
$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AD}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{A{A_1}}$，∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{A{A_1}}=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}-x+y-\sqrt{3}z=0\\ 2y=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-\sqrt{3}z\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow n=（-\sqrt{3}，0，1）$为平面A₁AD的一个法向量，-------------（8分）
由（1）知AB₁⊥面A₁BD，
∴$\overrightarrow{A{B_1}}$为平面A₁AD的法向量，$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{A{B_1}}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{A{B_1}}}|}}=\frac{{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}}{{2×2\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，------------------（11分）
∴二面角A-A₁D-B的正弦值为$\sqrt{1-{{cos}^2}＜\vec n•\overrightarrow{A{B_1}}＞}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，建立空间坐标系，将空间线线垂直转化为向量垂直，将空间二面角转化为向量夹角是解答的关键．