Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f（x）=$\frac{2x}{x+2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性（不必证明）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（k-3t²）+f（t²+2t）≤0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，当x≤0时，-x≥0，利用$\left.\begin{array}{l}{f（-x）=\frac{-2x}{-x+2}=\frac{2x}{x-2}=-f（x）}\end{array}\right.$，可求得当x≤0时的函数表达式，从而可得f（x）的解析式；
（2）当x≥0时，将函数$f（x）=\frac{2x}{x+2}$分离出常数2，利用反比例函数的单调性可判断出f（x）在[0，+∞）上是增函数，再利用奇函数的单调性质，可判断f（x）的单调性；
（3）利用（2）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，再利用奇函数的性质，将不等式f（k-3t²）+f（t²+2t）≤0转化为t²+2t≤3t²-k恒成立，利用判别式△=4+8k≤0即可求得k的取值范围．

解答 （本题12分）
解：（1）∵当x≥0时有$f（x）=\frac{2x}{x+2}$，
∴当x≤0时，-x≥0，
$\left.\begin{array}{l}{∴f（-x）=\frac{-2x}{-x+2}=\frac{2x}{x-2}=-f（x）…（2分）}\end{array}\right.$
∴$f（x）=\frac{2x}{2-x}$（x≤0），
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{x+2}（x＞0）\\ \frac{2x}{2-x}（x≤0）\end{array}\right.\end{array}$…（4分）
（2）∵当x≥0时有$f（x）=\frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{x+2}$，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数…（5分）
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）是在（-∞，+∞）上是增函数  …（7分）
（注：只判断f（x）是在（-∞，+∞）上是增函数得1分）
（3）f（k-3t²）+f（t²+2t）≤0则f（t²+2t）≤-f（k-3t²）=f（3t²-k）…（9分）
因f（x）为增函数，由上式推得，t²+2t≤3t²-k，∴2t²-2t-k≥0
即对一切t∈R恒有2t²-2t-k≥0…（11分）
从而判别式△=4+8k≤0，∴$k≤-\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，着重考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算能力，属于难题．