Question

9．倾斜角为θ的直线过离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）右焦点F，直线与C交于A，B两点，若$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$，则θ=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：过A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁为垂足，由椭圆的第二定义可知：丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，由题意可知：丨AF丨=7丨BF丨，|AE|=|AA₁|-|EA₁|=|AA₁|-|BB₁|=$\frac{6丨BF丨}{e}$，由cosθ=cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得倾斜角为θ的值．

解答 解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁为垂足，
过B作BE⊥AA₁，于E，
则丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，
由$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$知：丨AF丨=7丨BF丨，
|AE|=|AA₁|-|EA₁|=|AA₁|-|BB₁|=$\frac{6丨BF丨}{e}$
∴cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{6×\frac{丨BF丨}{e}}{8丨BF丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAE=$\frac{π}{6}$，
θ=$\frac{π}{6}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的第二定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．