Question

【题目】对于函数和，若存在区间，使在区间上恒成立，则称区间是函数和的“公共邻域”．设函数的反函数为，函数的图像与函数的图像关于点对称．

（1）求函数和的解析式；

（2）若，求函数的定义域；

（3）是否存在实数，使得区间是和的“公共邻域”，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）将作为方程利用指数式和对数式的互化解出，然后确定原函数的值域即为反函数的定义域，再由对称可得将换为，换为，即可得到所求的解析式；

（2）由对数的真数大于0，解不等式求交集，即可得到所求定义域；

（3）设，然后求出在闭区间，上的最小值与最大值，使最大值小于等于1，最小值大于等于，建立不等式组进行求解即可．

解：（1）设，则，

两边取对数得：，

所以；

由函数的图象与函数的图象 关于点对称，

可得，即为；

（2），函数，

由，且，

可得，

则函数的定义域为；

（3）假设存在实数，使得区间，是和的“公共邻域”，

因为，时，函数有意义，

所以，所以，

由区间，是和的“公共邻域”，

可得，

设，

二次函数的对称轴为，

所以在，上为增函数，

当时，取得最小值，当时取得最大值，

从而可得在闭区间，上的最小值与最大值分别为：

，，

当，时，恒有成立的充要条件为：

，即为，

解得．

则存在实数，且，

即时使得区间，是和的“公共邻域”．