Question

3．已知点A（-2，3，-3），B（4，5，9）．
（1）设平面α经过线段AB的中点，且与直线AB垂直，M（x，y，z）是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式；
（2）求到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的关系式；
（3）比较（1）（2）的结论，你发现了什么？

Answer 1

分析 （1）由已知得线段AB的中点O（2，4，3）在平面上，且OM是线段AB的垂直平分线，由此利用|PA|=|PB|，能求出x，y，z满足的关系式．
（2）由点P（x，y，z）到A，B两点距离相等，利用|PA|=|PB|，x，y，z满足的关系式．
（3）空间中到两点距离相等的点的轨迹是一个经过线段的中点，且与两点所在直线垂直的平面．

解答 解：（1）∵点A（-2，3，-3），B（4，5，9），
平面α经过线段AB的中点，且与直线AB垂直，M（x，y，z）是平面α内任意一点，
∴线段AB的中点O（2，4，3）在平面上，且OM是线段AB的垂直平分线，
∴|PA|=|PB|，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+（y-3）^{2}+（z+3）^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+（y-5）^{2}+（z-9）^{2}}$，
整理，得：3x+y-6z-25=0．
（2）∵点A（-2，3，-3），B（4，5，9）．
点P（x，y，z）到A，B两点距离相等，
∴|PA|=|PB|，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+（y-3）^{2}+（z+3）^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+（y-5）^{2}+（z-9）^{2}}$，
整理，得：3x+y-6z-25=0．
（3）由（1）（2）的结论，得到：
空间中到两点距离相等的点的轨迹是一个经过线段的中点，且与两点所在直线垂直的平面．

点评 本题考查空间点的坐标满足条件的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．