Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点的坐标分别为，两动点M、N满足，向量与共线．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求的取值范围．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设C（x，y），由知，
∴M是△ABC的重心，∴．
∵且向量与共线，∴N在边AB的中垂线上，
∵，∴，
又∵，∴，化简得，
即所求的轨迹方程是．
（2）设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），过点P（0，a）的直线方程为y=kx+a，
代入得（3-k²）x²-2akx-4a²=0，
∴，且△=4a²k²+16a²（3-k²）＞0，解得k²＜4．
∴k²-3＜1，则或，
∴
=，
则的取值范围是（-∞，4a²）∪（20a²，+∞）．
（3）设Q（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则，即y₀²=3（x₀²-a₀²）．
当QH⊥x轴时，x₀=2a，y₀=3a，∴∠QGH=，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
当QH不垂直x轴时，tan∠QHG=QGH=，
∴tan2∠QGH==．
又2∠QGH与∠QHG同在内，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．
分析：（1）先设出点C的坐标，根据△ABC的重心的充要条件表示出点M的坐标，再根据点A和B坐标以及距离的关系求出点N的坐标，由两点之间的距离公式代入，进行化简求出点C的轨迹方程；
（2）由题意设出点E、F和直线的方程，联立直线方程和轨迹方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理列出两根和以及积的式子，由判别式的符号求出k²-3的范围，根据向量数量积的坐标运算列出关于k的式子，根据求出的范围，即求出的范围；
（3）设出Q的坐标并代入轨迹方程，由特殊情况QH⊥x轴求出λ的值，根据点G和H坐标求出两个角的正切值，由两个角的范围和正切值进行判断是否成立．
点评：本题考查了轨迹方程的求法以及向量数量积的坐标，利用△ABC的重心的充要条件和距离公式求出轨迹方程，主要利用解析法中的设而不求思想，即根据题意列出方程组，根据韦达定理和判别式列出式子，把式子整体代入进行化简，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．