Question

已知函数f(x)=4

3

sin

x

2

cos

x

2

-2+4cos2(

π

2

+

x

2

)
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=0，求

2cos2 x 2 -sinx-1

2 sin(x+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的最值求出最大值与最小值．
（Ⅱ）通过f（x）=0，求出tanx的值，化简是表达式为tanx的形式，代入求值即可．

解答：解：（I）f(x)=4

3

sin

x

2

cos

x

2

-2+4cos2(

π

2

+

x

2

)
=2

3

sinx-2cosx
=4（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=4sin（x-

π

6

）．…（3分）
又∵x∈[0，π]，∴-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

，-2≤4sin(x-

π

6

)≤4，
f（x）_min=-2，f（x）_max=4．…（6分）
（II）由于f（x）=0，
∴2

3

sinx-2cosx=0，∴tanx=

3

3

．…（8分）
∴

2cos2 x 2 -sinx-1

2 sin(x+ π 4 )

=

cosx-sinx

2 ( 2 2 sinx+ 2 2 cosx)

=

cosx-sinx

sinx+cosx

=

1-tanx

1+tanx

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．