Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．
（1）求曲线的方程；
（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；
（3）记的面积为，求的最大值．

Answer 1

（1）圆心的轨迹：；
（2）和的比值为一个常数，这个常数为；
（3）当时，取最大值．

解析试题分析：（1）设圆心的坐标为，半径为 
利用已知条件，判断得到动圆与圆只能内切，
从而由，
判断得出圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，且，
求得圆心的轨迹：；
（2）设，研究直线，直线与椭圆联立的方程组，应用韦达定理，弦长公式，确定作出结论；
（3）注意到的面积的面积，
利用到直线的距离，将面积表示为
 ，应用“换元”思想，
令，得到应用基本不等式得解．
试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为 
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动
圆与圆只能内切
                               2分
圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹：                                             4分
（2）设，直线，则直线
由可得：，
                       6分
由可得：


                        8分

和的比值为一个常数，这个常数为       &nb