Question

20．设椭圆E₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P是E₁上的动点，椭圆E₂：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}$=l
（1）若椭圆E₂上的点Q满足：$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OP}（λ＞0）$，求λ的最小值；
（2）设E₁在P处的切线为l，l与E₂交于A、B两点，当l的倾斜角为$\frac{π}{4}$时，求三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的几何性质可知a=$\sqrt{2}$，b=1，得出E₁的方程，设P（x，y），则Q（λx，λy），代入E₂方程得出λ关于x的函数，从而得出λ的最小值；
（2）根据直线与E₁相切得出直线l的方程，代入E₂方程，得出|AB|，及O到AB的距离d，从而得出三角形OAB的面积．

解答 解：（1）由题意可知a²=2，b=c=1，
∴椭圆E₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
设P（x，y），则Q（λx，λy），∴λ²（$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$）=1，
又$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，∴${λ}^{2}•\frac{4-{x}^{2}}{8}=1$，即${λ}^{2}=\frac{8}{4-{x}^{2}}$．
∴当x=0时，λ_min=$\sqrt{2}$．
（2）当l的倾斜角为$\frac{π}{4}$时，设l的方程为y=x+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
∵直线与椭圆E₁相切，
∴△=16m²-24（m²-1）=0，∴m²=3．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4m²-8=0，
即5x²+8mx+4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{25}-\frac{16}{5}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$．
原点到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{14}}{5}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．