Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-2，0），点P（0，y₀）满足|PA|=|PB|，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c²=a²-b²求得a和b的关系，进而根据菱形的面积公式，求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．设线段AB的中点为M，当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求得y₀；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y₀的表达式根据$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求得y₀；综合答案可得．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由题意可知 $\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2．
解得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k．
则直线l的方程为y=k（x+2）．
将直线方程代入椭圆方程整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
所以 丨AB丨=$\sqrt{（-2-\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{4k}{1+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
设线段AB的中点为M，则M的坐标为（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标是（2，0），
线段AB的垂直平分线为y轴，
于是$\overrightarrow{PA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（2，-y₀），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，y₀=2$\sqrt{2}$，
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
令x=0，解得y₀=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，
于是$\overrightarrow{PA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（x₁，y₁-y₀），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀）=-2×$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$（$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$），
=$\frac{4（16{k}^{2}+15k-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4，
整理得7k²=2．故k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
∴y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$，
综上可知y₀=2$\sqrt{2}$，或y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．综合性强，难度大，属于难题．