Question

7．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：
（ⅰ）对于?a，b∈G，都有a*b∈G；
（ⅱ）对于?a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（iii）对于?a∈G，?e∈G，使得a*e=e*a=a；
（iv）对于?a∈G，?a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．
则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：
①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都写上）．

Answer 1

分析 逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．

解答 解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（ iii）?0∈G，?a∈G，则）0+a=a+0=a；（ iv）?a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=-a，使a+（-a）=（-a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；
②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（ iv）；
③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；
④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（ iii）?1∈G，?a∈G，则）1×a=a×1=a；（ iv）?a∈G，在G中存在唯一一个$\frac{1}{a}$，使$a×\frac{1}{a}=\frac{1}{a}×a=1$．
故答案为：①④．

点评 本题考查运算*构成群的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．