Question

19．已知数列{a_n}（n∈N^*），满足a₁=1，2a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\sqrt{\frac{1}{3}+{a_n}}$．
（Ⅰ） 求证：$\frac{2}{3}$＜a_n+1＜a_n；
（Ⅱ） 设数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和为S_n，证明：S_n＜$\frac{2n}{3}$+$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用数学归纳法证明左边不等式，利用作差法证明右边不等式，即可证明：$\frac{2}{3}$＜a_n+1＜a_n；
（Ⅱ） 问题等价于证明S_n-$\frac{2n}{3}$＜$\frac{4}{3}$，即$\sum_{i=1}^{n}$（${a}_{i}-\frac{2}{3}$）＜$\frac{4}{3}$，利用放缩法、等比数列的求和公式，即可证明．

解答 证明：（Ⅰ） 先证明a_n+1＞$\frac{2}{3}$，
n=1时，2a₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{\sqrt{3}}$，∴a₂=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞$\frac{2}{3}$，结论成立，
假设n=k时，结论成立，即a_k+1＞$\frac{2}{3}$，
则n=k+1时，2a_k+2=$\frac{1}{2}$a_k+1+$\sqrt{\frac{1}{3}+{a}_{k+1}}$＞$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$，∴a_k+2＞$\frac{2}{3}$，
即n=k+1时，结论成立，
∴a_n+1＞$\frac{2}{3}$．
∴a_n+1-a_n=-$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{1}{3}+{a_n}}$＜0，
∴$\frac{2}{3}$＜a_n+1＜a_n；
（Ⅱ） 问题等价于证明S_n-$\frac{2n}{3}$＜$\frac{4}{3}$，即$\sum_{i=1}^{n}$（${a}_{i}-\frac{2}{3}$）＜$\frac{4}{3}$，
设b_n=a_n-$\frac{2}{3}$，b₁=$\frac{1}{3}$，则2a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\sqrt{\frac{1}{3}+{a_n}}$可化为2b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n+$\sqrt{1+{b}_{n}}$-1，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{1+{b}_{n}}+1}$＜$\frac{3}{4}$，
∴b_n≤$\frac{1}{3}$•（$\frac{3}{4}$）^n-1，
∴S_n-$\frac{2n}{3}$＜$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{3}{4}）^{n}]}{1-\frac{3}{4}}$＜$\frac{4}{3}$，
∴S_n＜$\frac{2n}{3}$+$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列与不等式的综合，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，难度大．