Question

4．已知A={x||x-2|＜1}，B={x|$\frac{5}{x-1}$≥1}，C={x|（2a-1）x＜a，x＞0}，若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 分别求出集合A、B，求出A∩B，通过讨论a的范围，求出集合C，根据充分必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可．

解答 解：∵A={x||x-2|＜1}={x|1＜x＜3}，
B={x|$\frac{5}{x-1}$≥1}={x|1＜x≤6}，
∴A∩B=（1，3），
∵（2a-1）x＜a，x＞0，a＞0，
∴2a-1＞0即a＞$\frac{1}{2}$时，不等式的解集是：{x|0＜x＜$\frac{a}{2a-1}$}，
2a-1＜0时，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，不等式的解集是{x|x＞0}，
C={x|（2a-1）x＜a，x＞0}={x|0＜x＜$\frac{a}{a-1}$}或{x|x＞0}，
若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，
即（1，3）⊆（0，$\frac{a}{a-1}$），或（1，3）⊆（0，+∞），
故$\frac{a}{a-1}$≥3，解得：0＜a≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的运算，是一道基础题．