Question

16．已知关于x的不等式ax²-（a+2）x+2＜0．
（1）当a=-1时，解不等式；
（2）当a∈R时，解不等式．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，不等式化为-x²-x+2＜0，求解即可；
（2）不等式化为（ax-2）（x-1）＜0，讨论a=0、a＞0和a＜0时，对应不等式的解集是什么，从而求出对应的解集．

解答 解：（1）当a=-1时，此不等式为-x²-x+2＜0，
可化为x²+x-2＞0，
化简得（x+2）（x-1）＞0，
解得即{x|x＜-2或x＞1}；（4分）
（2）不等式ax²-（a+2）x+2＜0化为（ax-2）（x-1）＜0，
当a=0时，x＞1；
当a＞0时，不等式化为（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＜0，
若$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2，解不等式得$\frac{2}{a}$＜x＜1；
若$\frac{2}{a}$=1，即a=2，解不等式得x∈∅；
若$\frac{2}{a}$＞1，即0＜a＜2，解不等式得1＜x＜$\frac{2}{a}$；
当a＜0时，不等式（x-$\frac{2}{a}$）（x-1）＞0，解得x＜$\frac{2}{a}$或x＞1；
综上所述：当a=0，不等式的解集为{x|x＞1}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{2}{a}$或x＞1}；
当0＜a＜2时，不等式的解集为{x|1＜x＜$\frac{2}{a}$}；
当a=2时，不等式的解集为∅；
当a＞2时，不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$＜x＜1}．（12分）

点评 本题考查了含参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，解题时应对参数进行讨论，是综合性题目．