Question

8．已知（1+x+ax³）（x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式的各项系数和为96，则该展开式的常数项是15．

Answer 1

分析 根据（1+x+ax³）（x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式的各项系数和为96求得a=1，再根据它的展开式的通项公式求得它的常数项．

解答 解：∵（1+x+ax³）（x+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中各项系数的和为（a+2）×2⁵=96，
∴a=1，
（x+$\frac{1}{x}$）⁵的通项为T_r+1=${C}_{5}^{r}{x}^{5-2r}$，
令5-2r=0，无整数解；令5-2r=-1，r=3；令5-2r=-3，r=4；
故常数项为${C}_{5}^{3}+{C}_{5}^{4}$=15．
故答案为：15．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．