Question

16．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（x≠0），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性 并求出f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=3，求出a的值，结合切线方程求出b的值，从而求出f（x）的表达式即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的单调区间，从而求出f（x）的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$，
由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=-8，
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9，
所以函数f（x）的解析式为$f（x）=x-\frac{8}{x}+9$…（6分）．
（Ⅱ）$f'（x）=1-\frac{a}{x^2}$．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0），
这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数，
当a＞0时，令f'（x）=0，解得$x=±\sqrt{a}$，…（10分）．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	$（-∞，-\sqrt{a}）$	$-\sqrt{a}$	$（-\sqrt{a}，0）$	$（0，\sqrt{a}）$	$\sqrt{a}$	$（\sqrt{a}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在$（-∞，-\sqrt{a}）$，$（\sqrt{a}，+∞）$内是增函数，
在$（-\sqrt{a}，0）$，（0，+∞）内是减函数．        …（12分）
极大值为$f（\sqrt{a}）=2\sqrt{a}+b$，极小值为$f（-\sqrt{a}）=-2\sqrt{a}+b$…（15分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．