Question

14．设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1），等比数列{b_n}的前n顶和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₃．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为M_n．

Answer 1

分析 （1）根据题意和等比数列的通项公式列出关于a₁的方程，解次方程求出a₁，当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1 化简S_n=na_n-2n（n-1），由等差数列的定义得数列{a_n}是等差数列，由等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）中求出的a_n分别代入$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$化简，利用裂项相消法求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和M_n．

解答 解：（1）∵等比数列{b_n}的前n顶和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₃，
∴T₅-T₃=2b₃，则b₄+b₅=2b₃，即${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}-2=0$，
解得 a₁=1或a₁=-2，
∵数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1），
∴当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=na_n-2n（n-1）-[（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2）]，
化简可得，a_n-a_n-1=4 （n≥2）．
∴数列{a_n}是以1为或-2首项，以4为公差的等差数列，
则a_n=4n-3或a_n=4n-6；
（2）当a_n=4n-3时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$），
∴M_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$）]．
=$\frac{1}{4}$（$1-\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{1}{4n+1}$；
当a_n=4n-6时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-6）（4n-2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-6}-\frac{1}{4n-2}$），
∴M_n=$\frac{1}{4}$[（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$）+…+（$\frac{1}{4n-6}-\frac{1}{4n-2}$）]．
=$\frac{1}{4}$（$-\frac{1}{2}$-$-\frac{1}{4n-2}$）=$-\frac{n}{4（2n-1）}$，
综上可得，当a_n=4n-3时，M_n=$\frac{1}{4n+1}$；
当a_n=4n-6时，M_n=$-\frac{n}{4（2n-1）}$．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式，等比数列的通项公式，以及当n≥2时a_n=S_n -S_n-1的应用，考查裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．