Question

6．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点S（-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）
（1）求该椭圆方程
（2）若倾斜角是45°的直线l和椭圆交于P、Q两点，M是直线l与x轴的交点，且有3$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}$，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设：椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．根据椭圆的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点S（-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$），可得a，b，c．即可得出．
（2）设直线l的方程为：y=x+b，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立可得：3x²+4bx+2b²-2=0，利用根与系数的关系及3$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}$，即可解出b，从而可得直线l方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．  
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²①
而c²+b²=a²②，
过点S（-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1③
由①②③可得：b²=c²=1，a²=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，0），直线l的斜率为1，所以方程设为：y=x+b，
∵点M在该直线上，代入得b=-x₀
又因为3$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}$，即M分PQ所成的比为$\frac{1}{3}$，由定比分点公式得
x₀=$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{3}{x}_{2}}{1+\frac{1}{3}}$，化简得3x₁+x₂=4x₀，即3x₁+x₂=-4b…①
由$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1与y=x+b消去y得 3x²+4bx+2b²-2=0，∴x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$…②
①②联立消去x₂得 x₁=-$\frac{4b}{3}$，
因为点P（x₁，y₁）在直线y=x+b上，∴y₁=-$\frac{1}{3}$b，
又点P（x₁，y₁）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，代入得$\frac{16{b}^{2}}{18}+\frac{1}{9{b}^{2}}$=1，解得b=±1，
故所求直线方程为y=x+1或y=x-1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．