Question

11．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等边三角形，E为棱PD的中点
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若侧面PAD⊥底面ABCD，PB⊥AC，求二面角B-AC-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，交AC于点F，连结EF，则EF∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）取AD中点O，以O为坐标原点，以OA、OM、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-E的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，交AC于点F，连结EF，
∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点，
又∵E为PD中点，∴EF∥PB，
∵PB?平面AEC，EF?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴取BC中点M，则OM⊥AD，
以O为坐标原点，以OA、OM、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设OA=1，AB=m（m＞0），
则O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，m，0），C（-1，m，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，m，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，m，0），
∵PB⊥AC，∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}$=-2+m²=0，
解得m=$\sqrt{2}$，
平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=-2x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵二面角B-AC-E为钝二面角，
∴二面角B-AC-E的大小为135°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．