Question

2．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4-x）≤0}，B={x|log₂（x+2）＜3}．
（1）求A∩∁_UB；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆A∪B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题目所给的条件，可以分别解出集合A与集合B，由补集的知识，可得∁_UB，即可求得A∩∁_UB；
（2）求出A∪B，通过分类讨论，对a进行分类，可以确定C是否为空集，进而可以讨论的a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={x|（x+3）（4-x）≤0}={x|x≤-3或x≥4}，…．（2分）
对于集合B={x|log₂（x+2）＜3}．，有x+2＞0且x+2＜8，即-2＜x＜6，…．（4分）
即B=（-2，6），∴C_UB=（-∞，-2]∪[6，+∞），
所以A∩∁_UB=（-∞，-3]∪[6，+∞）．…（6分）
（2）因为A∪B=（-∞，-3]∪[-2，+∞）．…（7分）
①当2a≥a+!，即a≥1时，C=∅，满足题意．…（9分）
②当2a＜a+1，即a＜1时，有a+1≤-3或2a≥-2，
即a≤-4或-1≤a＜1．
综上，实数a的取值范围为（-∞，-4]∪[-1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查集合的基本运算以及集合关系的应用，考查集合的交并补的运算及运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．