Question

5．点P为△ABC平面上一点，有如下三个结论：
②若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P为△ABC的重心；
②若sinA•$\overrightarrow{PA}$+sinB$\overrightarrow{PB}$+sinC•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P为△ABC的内心；
③若sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P为△ABC的外心．
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上．
A．重心  B．外心  C．内心  D．重心
（2）请你证明结论③

Answer 1

分析 （1）直接由已知条件逐个加以判断；
（2）先证明两个引理：引理1：点P为△ABC平面上一点，则满足条件$x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ （x，y，z不全为零）的点P是唯一的，引理2：若点P为△ABC的外心，则sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，把引理1和引理2结合起来，可得结论．

解答 （1）解：A重心，C内心，B外心；
（2）证明：首先证明两个引理：
引理1：点P为△ABC平面上一点，则满足条件$x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ （x，y，z不全为零）的点P是唯一的．
证明：假设还有一点Q满足$x\overrightarrow{QA}+y\overrightarrow{QB}+z\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}$，则有$x\overrightarrow{QP}+y\overrightarrow{QP}+z\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}$，
即$（x+y+z）\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}$，∴点P与点Q重合，∴点P是唯一的．
引理2：若点P为△ABC的外心，则sin2A•$\overrightarrow{PA}$+sin2B•$\overrightarrow{PB}$+sin2C•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．
证明：∵2sin2Asin2Bcos2C+2sin2Bsin2Ccos2A+2sin2Csin2Acos2B
=sin2Asin（2B+2C）+sin2Bsin（2C+2A）+sin2Csin（2A+2B）
=-sin²2A-sin²2B-sin²2C，
∴设△ABC的外接圆的半径为r，则$（sin2A•\overrightarrow{PA}+sin2B•\overrightarrow{PB}+sin2C•\overrightarrow{PC}）^{2}$
=r²•（sin²2A+sin²2B+sin²2C+2sin2Asin2Bcos2C+2sin2Bsin2Ccos2A+2sin2Csin2Acos2B）=0，
即：$sin2A•\overrightarrow{PA}+sin2B•\overrightarrow{PB}+sin2C•\overrightarrow{PC}$=0
把引理1和引理2结合起来，可知结论③成立．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，记住三角形内一点的一般结论是解题关键，属于中档题．