Question

14．设函数f（x）=ax²-（a+1）x+1．
（1）若不等式f（x）＜mx的解集为{x|1＜x＜2}，求实数a、m的值；
（2）解不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求出实数a、m的值；
（2）不等式化为（ax-1）（x-1）＜0，讨论a=0和a＞0、a＜0时，求出不等式f（x）＜0的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-（a+1）x+1，
∴不等式f（x）＜mx等价于ax²-（a+m+1）x+1＜0，…（1分）
依题意知不等式ax²-（a+m+1）x+1＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴a＞0且1和2为方程ax²-（a+m+1）x+1=0的两根，…（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 1+2=\frac{a+m+1}{a}\\ 1×2=\frac{1}{a}\end{array}\right.$，…（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ m=0\end{array}\right.$，…（5分）
∴实数a、m的值分别为a=1、m=0，…（6分）
（2）不等式f（x）＜0可化为（ax-1）（x-1）＜0，
（ⅰ）当a=0时，不等式f（x）＜0等价于-x+1＜0，解得x＞1，
故原不等式的解集为{x|x＞1}，…（7分）
（ⅱ）当a＞0时，不等式f（x）＜0等价于$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$，
①当0＜a＜1时$\frac{1}{a}＞1$，不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$的解集为$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，
即原不等式的解集为$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，…（8分）
②当a=1时，不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$的解集为φ，
即原不等式的解集为φ，…（9分）
③当a＞1时$\frac{1}{a}＜1$，不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$的解集为$\left\{{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1}\right.}\right\}$，
即原不等式的解集为$\left\{{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1}\right.}\right\}$，…（10分）
（ⅲ）当a＜0时，不等式f（x）＜0等价于$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＞0$，
∵a＜0，
∴$\frac{1}{a}＜1$，
∴不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＞0$的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}，
即原不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}，…（11分）
综上所述，当a＞1时不等式f（x）＜0的解集为$\left\{{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1}\right.}\right\}$，
当a=1时不等式f（x）＜0的解集为φ，
当0＜a＜1时不等式f（x）＜0的解集为$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，
当a=0时不等式f（x）＜0的解集为{x|x＞1}，
当a＜0时不等式f（x）＜0的解集为为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}．   …（12分）

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的关系与应用问题，是综合性题目．