Question

10．已知数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-（-1）ⁿ，n∈N^*．设a_n1，a_n2，…，a_nt（其中n₁＜n₂＜…＜n_t，t∈N^*）成等差数列．
（1）若t=3．
①当n₁，n₂，n₃为连续正整数时，求n₁的值；
②当n₁=1时，求证：n₃-n₂为定值；
（2）求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）t=3，①依题意，${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{1}+1}$，${a}_{{n}_{1}+2}$成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当n₁为奇数或偶数时，分别求得n₁的值；
②a₁，a_n2，a_n3成等差数列，根据等差中项可知：$2[{{2^{n_2}}-{{（-1）}^{n_2}}}]=3+{2^{n_3}}-{（-1）^{n_3}}$，分别当n₂，n₃为奇数或偶数时，即可求得n₃-n₂=1，因此n₃-n₂为定值；
（2）设a_s，a_r，a_t（s＜r＜t）成等差数列，根据数列等差中项定义，2^s+2^t-2^r+1=（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r，分类讨论t=r+1，求得s的值，当t≥r+2，求得s的值，最后求得a₁，a_r，a_r+1成等差数列或a₂，a_r，a_r+1成等差数列，其中r为奇数，即可求得t的最大值．

解答 解：（1）①依题意，${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{1}+1}$，${a}_{{n}_{1}+2}$成等差数列，即2${a}_{{n}_{1}+1}$=${a}_{{n}_{1}}$+${a}_{{n}_{1}+2}$，
从而$2[{{2^{{n_1}+1}}-{{（-1）}^{{n_1}+1}}}]={2^{n_1}}-{（-1）^{n_1}}+{2^{{n_1}+2}}-{（-1）^{{n_1}+2}}$，
当n₁为奇数时，解得${2^{n_1}}=-4$，不存在这样的正整数n₁；
当n₁为偶数时，解得${2^{n_1}}=4$，所以n₁=2．（3分）
②依题意，a₁，a_n2，a_n3成等差数列，即2a_n2=a₁+a_n3，
从而$2[{{2^{n_2}}-{{（-1）}^{n_2}}}]=3+{2^{n_3}}-{（-1）^{n_3}}$，
当n₂，n₃均为奇数时，${2^{n_2}}-{2^{{n_3}-1}}=1$，左边为偶数，故矛盾；
当n₂，n₃均为偶数时，${2^{{n_2}-1}}-{2^{{n_3}-2}}=1$，左边为偶数，故矛盾；
当n₂为偶数，n₃奇数时，${2^{{n_2}+1}}-{2^{n_3}}=5$，左边为偶数，故矛盾；
当n₂为奇数，n₃偶数时，${2^{{n_2}+1}}-{2^{n_3}}=0$，即n₃-n₂=1．（8分）
（2）设a_s，a_r，a_t（s＜r＜t）成等差数列，则2a_r=a_s+a_t，
即2[2^r-（-1）^r]=2^s-（-1）^s+2^t-（-1）^t，
整理得，2^s+2^t-2^r+1=（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r，
若t=r+1，则2^s=（-1）^s+-3（-1）^r，因为2^s≥2，所以（-1）^s+-3（-1）^r只能为2或4，
所以s只能为1或2；（12分）
若t≥r+2，则2^s+2^t-2^r+1≥2^s+2^r+2-2^r+1≥2+2⁴-2³=10，（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r≤4，
故矛盾，
综上，只能a₁，a_r，a_r+1成等差数列或a₂，a_r，a_r+1成等差数列，其中r为奇数，
从而t的最大值为3．（16分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，考查分类讨论思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．