Question

18．如果有理数m可以表示成2x²-6xy+5y²（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．
（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？
（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．

Answer 1

分析 先将有理数m=2x²-6xy+5y²变形为（x-2y）²+（x-y）²，可知“世博数”m=p²+q²（其中p、q是任意有理数）．两个“世博数”a、b，不妨设a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s为任意给定的有理数．
（1）a、b之积为=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博数”；
（2）a、b（b≠0）之商=${（\frac{jr+ks}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}+{（\frac{js-kr}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}$也是“世博数”．

解答 （1）解：∵m=2x²-6xy+5y²=（x-2y）²+（x-y）²，其中x、y是有理数，
∴“世博数”m=p²+q²（其中p、q是任意有理数），只须p=x-2y，q=x-y即可．      （3分）
∴对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a=j²+k²，b=r²+s²，
其中j、k、r、s为任意给定的有理数，（3分）
则ab=（j²+k²）（r²+s²）=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博数”；（3分）
（2）证明：$\frac{a}{b}=\frac{{{j^2}+{k^2}}}{{{r^2}+{s^2}}}=\frac{{（{j^2}+{k^2}）（{r^2}+{s^2}）}}{{{{（{r^2}+{s^2}）}^2}}}（3分）=\frac{{{{（jr+ks）}^2}+{{（js-kr）}^2}}}{{{{（{r^2}+{s^2}）}^2}}}$
=${（\frac{jr+ks}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}+{（\frac{js-kr}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}$也是“世博数”．       （3分）

点评 本题考查了因式分解的应用，掌握“世博数”的概念是解题的关键，注意“世博数”m=p²+q²（其中p、q是任意有理数）．