Question

13．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k₁，直线OM的斜率为k₂，k₁k₂=-$\frac{2}{3}$．则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段AB的中点为M以及k₁k₂=-$\frac{2}{3}$，求得椭圆的离心率$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且 $\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，两式相减可得：$\frac{2x{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{2y{（y}_{1}{-y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0．
∵直线l的斜率为$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=k₁（k₁≠0），直线OM的斜率为k₂=$\frac{y}{x}$，
∴k₁•k₂=$\frac{y}{x}$•$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{{a}^{2}{-c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线方程的性质和应用，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题