Question

10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象相邻两对称轴之间的距离为π，且在x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当f（α）=$\frac{9}{5}$，且$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数的图象和性质，分别求出周期，利用正弦函数的单调性即可得到结论．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）由f（α）=$\frac{9}{5}$，可得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，可求范围$\frac{π}{2}$＜$α+\frac{π}{3}$＜π，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，由于α=（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵若f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴三角函数的周期T=2π，即T=$\frac{2π}{ω}$=2π，即ω=1，
则f（x）=sin（x+φ），
当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值，
即：sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
即：$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即：φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
则函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+1．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为：[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅲ）∵f（α）=sin（α+$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{9}{5}$，可得：sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，可得：$\frac{π}{2}$＜$α+\frac{π}{3}$＜π，
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$．
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数化简求值，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．