【题目】已知三棱柱中,
平面
,
于点
,点
在棱
上,满足
.
若
,求证:
平面
;
设平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
,若
,试判断命题“
”的真假,并说明理由.
【答案】证明见解析
假命题,理由见解析
【解析】
根据题意,设
,以点
为坐标原点,以
所在的直线为
轴,过
和
平行的直线为
轴,以
所在的直线为
建立空间直角坐标系,求平面
的一个法向量
,只需证明
,即可得出结论成立;
根据
中建立的坐标系,分别求出平面
与平面
的法向量,表示出两向量的夹角,根据题意,即可求出结果.
因为
,设
,则
,所以
,
,以点
为坐标原点,以
所在的直线为
轴,过
和
平行的直线为
轴,以
所在的直线为
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,
,
,
所以,
,
所以,所以
,
,
设为平面
的法向量,则
即,取
,则
,
所以,而
,所以
,
又因为直线在平面
外,
所以平面
.
由
可知,
,
因为,所以
.
所以,
所以,所以
,
,设
为平面
的法向量.
则,即
,
取,则
,
,
因为平面
,所以
,因为
,
所以与
的法向量
平行,
取,
设平面与平面
所成锐二面角为
,
所以
对于,若把
看作
的函数.
则此函数在上是单调递增的,在
是单调递减的,
所以,所以
,
所以不存在,使得
,
命题“”是假命题.
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【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为
,
,点
为左支上任意一点,直线
是双曲线的一条渐近线,点
在直线
上的射影为
,且当
取最小值5时,
的最大值为( )
A. B.
C.
D. 10
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【题目】设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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【题目】甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为
,其中
,若
,就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,设点
,已知
,求实数
的值.
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【题目】20世纪70年代,流行一种游戏——角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数,按照以下的规律进行变换,如果
是奇数,则下一步变成
;如果
是偶数,则下一步变成
,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的
的值为6,则输入的
值可以为( )
A. 5或16B. 16C. 5或32D. 4或5或32
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