Question

设函数f(x)=ax+（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

Answer 1

（1）f(x)=x+（2）证明见解析

解析:

(1)解  f′(x)=a-,

于是解得或

因为a,b∈Z,故f(x)=x+.

(2)证明  在曲线上任取一点（x₀,x₀+）,

由f′(x₀)=1-知,过此点的切线方程为

y-=(x-x₀).

令x=1,得y=,

切线与直线x=1的交点为;

令y=x,得y=2x₀-1,

切线与直线y=x的交点为(2x₀-1,2x₀-1);

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),

从而所围三角形的面积为

|2x₀-1-1|=|2x₀-2|=2.

所以,所围三角形的面积为定值2.