Question

5．定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1（{x≤1}）\\|{x-3}|-1（{x＞1}）\end{array}$，则不等式f（x）＜-$\frac{1}{2}$的解集为$\left\{{x|x＜-1或\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right\}$．

Answer 1

分析 当x≤1时，由不等式可得$f（x）={2^x}-1＜-\frac{1}{2}$，由此求得x的范围；当x＞1时，由不等式可得|x-3|-1＜-$\frac{1}{2}$，由此求得x的范围．再把以上两个x的范围取并集，即得所求．

解答 解：当x≤1时，$f（x）={2^x}-1＜-\frac{1}{2}$，∴${2^x}＜\frac{1}{2}⇒x＜-1$；
当x＞1时，$f（x）=|{x-3}|-1＜-\frac{1}{2}⇒\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}$，
∴不等式$f（x）＜-\frac{1}{2}$的解集为$\left\{{x|x＜-1或\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right\}$，
故答案为：$\left\{{x|x＜-1或\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}}\right\}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，指数不等式、绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．