Question

13．已知△ABC是锐角三角形，cos²2A+sin²A=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若BC=1，B=x，求△ABC的周长f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数恒等式及二倍角公式，可得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得到f（x），借助辅助角公式化简后得到单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵cos²2A+sin²A=1，
∴cos²2A=cos²A，
∴cos2A=±cosA，
∴2cos²A-1±cosA=0，
∵△ABC是锐角三角形，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵BC=1，B=x，
∴AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinx，
AB=cosx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx，
∴△ABC的周长f（x）=1+cosx+$\sqrt{3}$sinx=1+2sin（x+$\frac{π}{6}$），
△ABC是锐角三角形，
∴x＜$\frac{π}{2}$，C=$\frac{2π}{3}$-x＜$\frac{π}{2}$；
∴x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴f（x）的单调增区间是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，单调减区间是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查三角函数化简及确定单调区间和正弦定理．