Question

1．在“2016”的logo设计中，有这样一个图案，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x-4）²+y²=16，抛物线弧E：y²=2px（y≥0，0≤x≤8），若圆心C恰为抛物线y²=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y²=2px的准线．
（Ⅰ）求p的值及线段l所在的直线方程；
（Ⅱ）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圆的圆心，以及抛物线的焦点坐标，可得p=8，进而得到抛物线的准线方程，即有直线l的方程；
（Ⅱ）假设存在这样的P点，满足条件．设P（x₀，y₀），由切线的性质可得切线的斜率，进而得到切线方程，联立抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，弦长公式，化简整理，求得P的坐标和A，B的纵坐标，即可判断不存在．

解答 解：（Ⅰ）圆C方程为（x-4）²+y²=16的圆心为（4，0），
抛物线y²=2px的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可得$\frac{p}{2}$=4，解得p=8；
抛物线y²=16x的准线为x=-4，
由题意可得直线l：x=-4；
（Ⅱ）假设存在这样的P点，满足条件．设P（x₀，y₀），
由切线的性质可得切线的斜率为k=-$\frac{{x}_{0}-4}{{y}_{0}}$，
且（x₀-4）²+y₀²=16，
则切线方程为（x₀-4）（x-4）+y₀y=16，
联立抛物线的方程y²=16x，消去x，可得
$\frac{{x}_{0}-4}{16}$y²+y₀y-4x₀=0，即有y_A+y_B=-$\frac{16{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$，y_Ay_B=-$\frac{64{x}_{0}}{{x}_{0}-4}$，
由|MN|=|y_A-y_B|=$\sqrt{\frac{256{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-4）^{2}}+\frac{256{x}_{0}}{{x}_{0}-4}}$=$\frac{\sqrt{4{x}_{0}}}{|\frac{{x}_{0}-4}{16}|}$=$\frac{32}{3}$，
解得x₀=1，y₀=$\sqrt{7}$，即P（1，$\sqrt{7}$），
解得y_A，或y_B=$\frac{8}{3}$（$\sqrt{7}$±2），
抛物线弧右上端点坐标为（8，8$\sqrt{2}$），且$\frac{8}{3}$（$\sqrt{7}$+2）＞8$\sqrt{2}$，
故此时P不满足条件，这样的点P不存在．

点评 本题考查抛物线的方程和直线方程的求法，注意运用圆方程，考查存在性问题的解法，注意运用圆的切线的方程，以及抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．