Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=$\frac{2π}{3}$，且a²-（b-c）²=（2-$\sqrt{3}$）bc．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}的公差不为零，且a₁•cos2B=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，求{${\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出．
（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由${a^2}-{（b-c）^2}=（2-\sqrt{3}）bc$，得${a^2}-{b^2}-{c^2}=-\sqrt{3}bc$，
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{6}$，由$C=\frac{2π}{3}$，得$B=\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）设{a_n}的公差为d，由（I）得${a_1}=\frac{1}{{cos\frac{π}{3}}}=2$，且${a_4}^2={a_2}{a_8}$，
∴${（{a_1}+3d）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+7d）$，又d≠0，∴d=2，
∴a_n=2n，
∴$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．