Question

16．已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3，$\frac{π}{4}$）．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）（θ为参数）．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的距离的最小值．

Answer 1

分析 （I）由P点的极坐标为（3，$\frac{π}{4}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得点P的直角坐标．曲线C的极坐标为ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）（θ为极角），展开可得：ρ²=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出直角坐标方程．
（II）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的直角坐标方程为：：2x+4y=$\sqrt{2}$．设Q$（\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ）$，则M$（\sqrt{2}+\frac{cosθ}{2}，\sqrt{2}+\frac{sinθ}{2}）$，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（I）由P点的极坐标为（3，$\frac{π}{4}$），∴x_P=3$cos\frac{π}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，y_P=3$sin\frac{π}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴点P的直角坐标为$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}）$．
曲线C的极坐标为ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）（θ为极角），展开可得：ρ²=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），
∴x²+y²=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y，
配方为：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1．
（II）直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的直角坐标方程为：：2x+4y=$\sqrt{2}$．
设Q$（\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ）$，则M$（\sqrt{2}+\frac{cosθ}{2}，\sqrt{2}+\frac{sinθ}{2}）$，
则点M到直线l的距离d=$\frac{|2（\sqrt{2}+\frac{cosθ}{2}）+4（\sqrt{2}+\frac{sinθ}{2}）-\sqrt{2}|}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{5}sin（θ+φ）}{2\sqrt{5}}$$≥\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$，当且仅当sin（θ+φ）=-1时取等号．
∴点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的距离的最小值是$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．