Question

17．已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，2a₇+a₈=a₉．数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，且其前10项为45，则数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，由2a₇+a₈=a₉．可得a₇$（2+q）={a}_{7}{q}^{2}$，解得q．由数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，且其前10项为45，可得log₂a₁+…+log₂a₁₀=45，即log₂（a₁a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}{a}_{10}）^{5}$=45，可得a₁a₁₀=2⁹，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵2a₇+a₈=a₉．
∴a₇$（2+q）={a}_{7}{q}^{2}$，化为q²-q-2=0，解得q=2．
∵数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，且其前10项为45，
∴log₂a₁+…+log₂a₁₀=45，
∴log₂（a₁a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}{a}_{10}）^{5}$=45，
可得a₁a₁₀=2⁹，
∴${a}_{1}^{2}$×2⁹=2⁹，a₁＞0．
解得a₁=1．
则数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
故答案为：a_n=2^n-1．

点评 本题考查了对数的运算性质、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．