Question

6．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x²，若f（1-m）-f（m）≥$\frac{1}{3}[{{{（1-m）}^3}-{m^3}}]$，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$
• B． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 构造辅助函数$g（x）=f（x）-\frac{1}{3}{x^3}$，由f（x）是奇函数，g（-x）+g（x）=0，可知g（x）是奇函数，求导判断g（x）的单调性，$f（1-m）-f（m）≥\frac{1}{3}[{{{（1-m）}^3}-{m^3}}]$，即g（1-m）≥g（m），解得m的取值范围．

解答 解：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{3}{x^3}$，
∵$g（-x）+g（x）=f（-x）-\frac{1}{3}{（-x）^3}+f（x）-\frac{1}{3}{x^3}=0$，
∴函数g（x）为奇函数，
∵x∈（0，+∞）时，
g′（x）=f′（x）-x²＜0，
函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，
又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，
所以函数g（x）在R上为减函数，
$f（1-m）-f（m）≥\frac{1}{3}[{{{（1-m）}^3}-{m^3}}]$，即g（1-m）≥g（m），
∴1-m≤m，
∴$m≥\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．