Question

已知a∈R，函数f(x)＝x²－2alnx．

(Ⅰ)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，试证明：“方程f(x)＝2ax有唯一解”的充要条件是“”．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ) 　　当时，，∴单调递增区间为； 　　当时，，∴单调递减区间为； 　　(Ⅱ)记， 　　 　　(1)充分性：若，则， 　　当时，在(0，1)上是单调递减函数； 　　当时，在上是单调递增函数． 　　∴当时，，即，当且仅当时取等号． 　　∴方程有唯一解． 　　(2)必要性：若方程有唯一解，即有唯一解． 　　令，得 　　∵∴(舍去)， 　　当时，在上是单调递减函数； 　　当时，在上是单调递增函数． 　　∴当时， 　　∵有唯一解，∴．则即 　　∴，∵，∴ 　　设函数∵在时是增函数，∴至多有一解． 　　∵，∴方程(*)的解为，即，解得 　　由(1)、(2)知，“方程有唯一解”的充要条件是“”