Question

11．已知函数f（x）=x-${e^{\frac{x}{a}}}$存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e^x相切，符合情况的切线l（　　）

• A． 有3条
• B． 有2条
• C． 有1条
• D． 不存在

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，消去a得${e}^{{x}_{0}}$x₀-${e}^{{x}_{0}}$-1=0，设h（x）=e^xx-e^x-1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．

解答 解：函数f（x）=x-${e^{\frac{x}{a}}}$的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{a}$e${\;}^{\frac{x}{a}}$，
依题意可知，f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，
①a＜0时，f′（x）＜0 在（-∞，+∞）无解，不符合题意；
②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e${\;}^{\frac{x}{a}}$，lna＞$\frac{x}{a}$，x＜alna符合题意，则a＞0．
易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1-$\frac{1}{a}$）x-1．
假设l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），
即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，
消去a得${e^{x_0}}={e^{x_0}}{x_0}-1$，设h（x）=e^xx-e^x-1，
则h′（x）=e^xx，令h′（x）＞0，则x＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
当x→-∞，h（x）→-1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则${e^{x_0}}＞1$，
而a＞0时，$1-\frac{1}{a}＜1$，与${e^{x_0}}＞1$矛盾，所以不存在．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用，属于中档题．