Question

2．求${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$的展开式中的常数项，其中n是77⁷⁷-10除以19的余数．

Answer 1

分析 77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=76m-9除以19的余数是10，可得n=10．再利用通项公式即可得出．

解答 解：77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=76m-9除以19的余数是10，所以n=10．
设T_r+1是展开式中的常数项，
则${T_{r+1}}=C_{10}^r{（{\frac{5}{2x}}）^{10-r}}{（{-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^r}=C_{10}^r{（{\frac{5}{2}}）^{10-r}}{（{-\frac{2}{5}}）^r}{x^{\frac{5}{3}r-10}}$，
令$\frac{5}{3}r-10=0$得r=6，所以${T_7}=C_{10}^6{（{\frac{5}{2}}）^4}{（{-\frac{2}{5}}）^6}=\frac{168}{5}$．
所以展开式中的常数项为$\frac{168}{5}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．