Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把函数f（x）=xlnx代入g（x）=f（x）-a（x-1），求导后利用导函数的正负求解函数g（x）的单调区间；
（2）设出切点，求出函数在切点处的导数，利用直线方程的点斜式写出直线方程，把点（0，-1）代入求切点的横坐标，则切线方程可求．

解答：解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
则g′（x）=lnx+1-a，
由g′（x）＜0，得lnx+1-a＜0，解得：0＜x＜e^a-1；
由g′（x）＞0，得lnx+1-a＞0，解得：x＞e^a-1．
所以g（x）在（0，e^a-1）上单调递减，在（e^a-1，+∞）上单调递增．
（2）设切点坐标为（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，切线的斜率为lnx₀+1．
所以切线l的方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
又切线l过点（0，-1），所以有-1-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（0-x₀），
即-1-x₀lnx₀=-x₀lnx₀-x₀，
解得x₀=1，y₀=0，
所以直线l的方程为y=x-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数导函数的符号和函数单调性之间的关系，考查了曲线上某点处切线方程的求法，解答此类问题时要注意题目的问法，是在某点处的切线方程还是过某点处的切线方程，以免解答出错，此题是中档题．