Question

【题目】如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．

（1）求证：AT2=BTAD；
（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，

所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．

又AT 2=ABAD，所以AT 2=BTAD

（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．

由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．

因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT=∠DBT=90°．

所以∠A=∠ATB=45°．

【解析】（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径，即可求∠A．