Question

【题目】阿基米德（公元前年—公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根据题意计算得到，得到椭圆方程.

（2）设直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，，表示出，解得答案.

(1)依题意有解得所以椭圆的标准方程是.

(2)由题意直线的斜率不能为，设直线的方程为，

由方程组得，

设，，

所以，，

所以，

所以，

令（），则，，

因为在上单调递增，

所以当，即时，面积取得最大值为.