Question

已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞．
（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈(0，＋∞)，证明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

Answer 1

（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；（Ⅲ）f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n).

试题分析：（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜，而x₁＞0，所以f(x₁)＜f(x₁＋x₂)，同理f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，两式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜，而x₁＞0，所以f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，同理f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，……
f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，以上n个不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，得证.
试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．
∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，
∴F′(x)＞0．
故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．
（Ⅱ）∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜．
∵x₁＞0，∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂)．
同理可得f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．
以上两式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．
（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：
设x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．
∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，
∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．
由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜．
∵x₁＞0，
∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．
同理可得
f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，
f(x₃)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，
……
f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．
以上n个不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．