Question

（Ⅰ）设

e1

 ， 

e2

为两个不共线的向量，

a

=-

e1

+3

e2

 ， 

b

=4

e1

+2

e2

 ， 

c

=-3

e1

+12

e2

，试用

b

 ， 

c

为基底表示向量

a

；
（Ⅱ）已知向量

a

=( 3 ， 2 ) ， 

b

=( -1 ， 2 ) ， 

c

=( 4 ， 1 )，当k为何值时，( 

a

+k

c

 )∥( 2

b

-

a

 )？平行时它们是同向还是反向？

Answer 1

分析：（Ⅰ）设

a

=λ1

b

+λ2

c

，则由条件可得

4λ1-3λ2=-1 2λ1+12λ2=3

，解得λ₁、λ₂的值，即可用

b

 ， 

c

为基底表示向量

a

．
（Ⅱ） 求出(

a

+k

c

)、( 2

b

-

a

)的坐标，根据两个向量共线的性质求出k的值，得到

a

+k

c

=

13

5

•( 2

b

-

a

)，
可得向量( 

a

+k

c

 )与( 2

b

-

a

 )同向．

解答：解：（Ⅰ）设

a

=λ1

b

+λ2

c

，则-

e1

+3

e2

=λ1(4

e1

+2

e2

)+λ2(-3

e1

+12

e2

)，
即-

e1

+3

e2

=(4λ1-3λ2)

e1

+(2λ1+12λ2)

e2

，
∴

4λ1-3λ2=-1 2λ1+12λ2=3

，解得

λ1=- 1 18 λ2= 7 27

，∴

a

=-

1

18

b

+

7

27

c

．---（5分）
（Ⅱ）∵

a

+k

c

=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），

2 b - a =2( -1 ， 2 )-( 3 ， 2 )=( -5 ， 2 )

，
又( 

a

+k

c

 )∥( 2

b

-

a

 )，∴（3+4k）•2=（2+k）•（-5），解得 k=-

16

13

．
 此时，

a

+k

c

 =( -

25

13

 ， 

10

13

 )=

13

5

( -5 ， 2 )=

13

5

( 2

b

-

a

 )，
故向量( 

a

+k

c

 )与( 2

b

-

a

 )同向．-----（10分）

点评：本题主要考查两个向量共线的条件，两个向量坐标形式的运算，平面向量基本定理及其几何意义，属于基础题．